Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 4 & 6 & 5 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 6 & 5 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 3 \cdot 5 - 6 \cdot 3$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$a_{11} = 15 - 6 \cdot 3$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$a_{11} = 15 - 18$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $18$ de $15$ .

$a_{11} = - 3$

Étape 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 2 \cdot 5 - 4 \cdot 3$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$a_{12} = 10 - 4 \cdot 3$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$a_{12} = 10 - 12$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $12$ de $10$ .

$a_{12} = - 2$

Étape 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 3$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$a_{13} = 12 - 4 \cdot 3$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$a_{13} = 12 - 12$

Étape 2.3.2.2.2

Soustrayez $12$ de $12$ .

$a_{13} = 0$

Étape 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 6 & 5 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 5 - 6 \cdot 3$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$a_{21} = 10 - 6 \cdot 3$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$a_{21} = 10 - 18$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez $18$ de $10$ .

$a_{21} = - 8$

Étape 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 3$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$a_{22} = 5 - 4 \cdot 3$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$a_{22} = 5 - 12$

Étape 2.5.2.2.2

Soustrayez $12$ de $5$ .

$a_{22} = - 7$

Étape 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 2$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$a_{23} = 6 - 4 \cdot 2$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$a_{23} = 6 - 8$

Étape 2.6.2.2.2

Soustrayez $8$ de $6$ .

$a_{23} = - 2$

Étape 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$a_{31} = 6 - 3 \cdot 3$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$a_{31} = 6 - 9$

Étape 2.7.2.2.2

Soustrayez $9$ de $6$ .

$a_{31} = - 3$

Étape 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 3$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$a_{32} = 3 - 2 \cdot 3$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$a_{32} = 3 - 6$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez $6$ de $3$ .

$a_{32} = - 3$

Étape 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 2$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$a_{33} = 3 - 2 \cdot 2$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$a_{33} = 3 - 4$

Étape 2.9.2.2.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$a_{33} = - 1$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 0 \\ 8 & - 7 & 2 \\ - 3 & 3 & - 1 \end{array}]$